Salinan Soal Final Olimpiade Matematika SWEE 2022

SWEE (Sutomo World Education Expo) 2022 dilaksanakan oleh Perguruan Sutomo 1 Medan, pada 01 Oktober 2022. Berikut Salinan Soal Finalnya.

SALINAN SOAL SWEE SUTOMO 2022 BABAK FINAL

1. Diberikan $f:(0,1) \rightarrow R$ dengan:

$f(x)=\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}.((1+x)\sqrt{1+x}-(1-x)\sqrt{1-x})}{x(2+\sqrt{1-x^2})}$

Buktikan bahwa $f$ konstan.

2. Diberikan $ABCD$ segiempat konveks dengan sudut $BAC=30^o$, sudut $CAD=20^o$, sudut $ABD=50^o$ dan sudut $DBC=30^o$. Diagonal $AC$ dan $BD$ berpotongan di $P$. Buktikan bahwa $PCD$ segitiga sama kaki.

3. Tiga sahabat $A, B$ dan $C$ bermain bola. Dua penyerang berusaha mencetak gol. Siapa yang berhasil mencetak gol akan menjadi penjaga gawang. Sampai permainan selesai, A menjadi penyerang 12 kali, B menjadi penyerang 21 kali, C menjadi penjaga gawang 8 kali. Siapa pencetak gol keenam. (Tuliskan alasan anda dengan logis dan jelas)

4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ yang memenuhi $FPB(a,b) + KPK(a,b) = a + b + 6.$

Misal: $a=k.p$ dan $b=k.q$
$FPB(a,b)+KPK(a,b)=a+b+6$
$k+k.p.q=k.p+k.q+6$
$k.p.q-k.p-k.q+k=6$
$k(p.q-p-q+1)=6$
$k.(p-1)(q-1)=6$


Kasus 1: $6=1.2.3$
$k.(p-1)(q-1)=1.2.3$
$(p-1)=2→p=3$
$(q-1)=3→q=4$
Diperoleh: $(p,q)=(3,4)$ dan $(4,3)$
dengan k = 1, maka $(a,b)=(3,4)$ dan $(4,3)$


Kasus 2: $6=2.1.3$
$k.(p-1)(q-1)=2.1.3$
$(p-1)=1→p=2$
$(q-1)=3→q=4$
Diperoleh: $(p,q)=(2,4)$ dan $(4,2)$
dengan k = 2, maka $(a,b)=(4,8)$ dan $(8,4)$


Kasus 3: $6=3.1.2$
$k.(p-1)(q-1)=3.1.2$
$(p-1)=1→p=2$
$(q-1)=2→q=3$
Diperoleh: $(p,q)=(2,3)$ dan $(3,2)$
dengan k = 3, maka $(a,b)=(6,9)$ dan $(9,6)$


Kasus 4: $6=6.1.1$
$k.(p-1)(q-1)=6.1.1$
$(p-1)=1→p=2$
$(q-1)=1→q=2$
Diperoleh: $(p,q)=(2,2)$
dengan k = 6, maka $(a,b)=(12,12)$


Kasus 5: $6=1.1.6$
$k.(p-1)(q-1)=1.1.6$
$(p-1)=1→p=2$
$(q-1)=6→q=7$
Diperoleh: $(p,q)=(2,7)$ dan $(7,2)$
dengan k = 1, maka $(a,b)=(2,7)$ dan $(7,2)$


Pembuktian contoh solusi:
$FPB(a,b)+KPK(a,b)=a+b+6$
$FPB(2,7)+KPK(2,7)=2+7+6$
$1+14=15$
terbukti

Solusi Versi Video: DISINI

5. Buktikan jika $a, b, c, d, e$ elemen $Real\;Positif$, maka:

$(\frac{a}{b})^4$ +$(\frac{b}{c})^4$ +$(\frac{c}{d})^4$ +$(\frac{d}{e})^4$ +$(\frac{e}{a})^4$ $\geq$ $\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{d}{c}$+$\frac{e}{d}$+$\frac{a}{e}$

Soal Penyisihan nya silahkan Klik Link Dibawah

SOAL PENYISIHAN SWEE SUTOMO 2022

Share this post