PERSAMAAN LINGKARAN

Kali ini kita akan membahas lanjutan dari materi Matematika Peminatan di Kelas XI MIPA. Jika yang kemarin kita membahas tentang Trigonometri, sekarang kita masuk tentang materi Irisan Kerucut, yakni tentang Lingkaran. Disini akan kita bahas mengenai Persamaan Lingkaran.

Perhatikan pembahasan Materi Tentang Persamaan Lingkaran.

 

A.     Persamaan Lingkaran yang BerPusat di (0, 0)

Kita harus pahami dahulu defenisi dari Lingkaran. Lingkaran adalah kumpulan titik – titik yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu adalah titik pusat lingkaran, sementara jarak yang sama tersebut adalah jari – jari.

Nah, untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0), kita menggunakan defenisi tersebut. Perhatikan gambar di bawah:

Kita ambil sebuah titik sembarang pada lingkaran, dan kita misalkan Namanya adalah titik P, dengan koordinat P (x, y). Jarak titik tersebut ke sumbu x adalah sejauh y, jarak titik tersebut ke sumbu y adalah sejauh x, dan jarak titik tersebut ke titik pusat lingkaran adalah sejauh r.

Karena terbentuk sebuah segitiga siku – siku, maka berlaku rumus Pythagoras, sehingga kita memperoleh rumus persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) adalah:

Contoh:

Persamaan lingkaran yang berpuast di titik (0, 0) dan memiliki jari – jari 3 adalah:

Maka persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 9

 

Nah, sebelum kita melanjut ke persamaan berikutnya, kita harus tahu dulu apa yang dimaksud dengan kedudukan titik terhadap lingkaran. Perhatikan pada kalimat pertama di bawah gambar, saya ada mem-bold kan tulisan pada. Tulisan pada ini menunjukkan kedudukan titik terhadap lingkaran. Secara garis besarnya, akan terdapat 3 kemungkinan, yakni di dalam lingkaran, pada lingkaran dan di luar lingkaran, dengan catatan sebagai berikut:

a.      Titik A (a, b) terletak di dalam lingkaran x² + y² = r², jika a² + b² < r²

b.      Titik A (a, b) terletak pada lingkaran x² + y² = r², jika a² + b² = r²

c.      Titik A (a, b) terletak di luar lingkaran x² + y² = r², jika a² + b² > r²

 

Contoh:

Tentukan kedudukan titik – titik berikut terhadap lingkaran x² + y² = 25

a.      A (2, 3)

b.      B (3, 4)

c.      C (4, 5)

Jawab:

a.      A (2, 3) à x² + y² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 < 25

Maka titik A (2, 3) terletak di dalam lingkaran

 

b.      B (3, 4) à x² + y² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 25

Maka titik B (3, 4) terletak pada lingkaran

 

c.      C (4, 5) à x² + y² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41 > 25

Maka titik C (4, 5) terletak di luar lingkaran

 

B.     Persamaan Lingkaran yang BerPusat di (h, k)

Untuk mencari persamaan lingkaran yang berpusat di (h, k) kita menggeser persamaan lingkaran awal yang berpusat di (0, 0) ke suatu titik yang disebut (h, k). Perhatikan gambar:

Sama seperti persamaan awal, ambil titik A (x, y) pada lingkaran, maka diperoleh segitiga siku – siku seperti gambar, dan berlaku rumus Pythagoras, sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di (h, k) adalah:

 

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 1) dan memiliki panjang jari – jari 3.

Jawab:

Seperti di awal, akan terdapat 3 kemungkinan kedudukan titik pada lingkaran, yakni di dalam lingkaran, pada lingkaran dan di luar lingkaran, dengan catatan sebagai berikut:

a.      Titik A (a, b) terletak di dalam lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r², jika (a – h)² + (b – k)² < r²

b.      Titik A (a, b) terletak pada lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r², jika (a – h)² + (b – k)² = r²

c.      Titik A (a, b) terletak di luar lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r², jika (a – h)² + (b – k)² > r²

 

C.      Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran memiliki bentuk umum sebagai berikut:

Persamaan ini sebenarnya diperoleh dengan menjabarkan bentuk persamaan bagian B, yakni jika diketahui pusat (h, k) dan jari – jari = r

Nah, bentuk – bentuk dalam persamaan terakhir yang kita peroleh, dimisalkan:

Sehingga persamaan menjadi:

 

Nah, sekarang kita akan menggunakan persamaan bentuk umum menentukan pusat dan jari – jari.

 

Atau, dengan menggantikan nilai h dan k, diperoleh rumus r:

 

Maka, kita bisa membuat kesimpulan, bahwa, jika diketahui bentuk umum persamaan lingkaran:

Maka, sebagai pusat dan jari – jari:

Sebagai Catatan Penting:

Nilai A dan B dari suatu bentuk umum Persamaan Lingkaran, hanya bisa digunakan jika koefisien x² dan y² sudah sama – sama bernilai 1. Jika belum, bagilah semua persamaan dengan koefisien x² atau koefisien y². Nah, bagaimana jika koefisien x² tidak sama dengan koefisien y² ?

Jangan pusing, karena itu bukanlah persamaan Lingkaran.

 

Contoh Soal:

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran dari persamaan berikut:

Jawab:

Semua persamaan dibagi 4, menjadi:

Diperoleh nilai A, B, dan C berturut – turut:

 

Demikianlah materi hari ini tentang persamaan lingkaran. Untuk persamaan lingkaran jika diketahui pusat dan beberapa hal lain, seperti lingkaran melalui 1 titik, menyinggung sumbu koordinat atau menyinggung garis, akan kita bahas pada materi berikutnya.

 

Yang berminat file wordnya, silahkan di download Persaman Lingkaran

Share this post