Fungsi Kuadrat ~ Full Materi

Selamat Pagi semua

Kali ini, kita akan membahas tentang materi Fungsi Kuadrat

Materi ini, tidak diajarkan di Matematika SMA, karena pada kurikulum 2013, sudah diajarkan di tingkat SMP, walau tidak sedalam saat di pelajari di SMA

Materi ini juga dituliskan dalam bentuk Microsoft Word, dan bisa di download di akhir Materi.

Perhatikan materi berikut dengan baik.

A. Bentuk Umum

Bentuk Umum dari Fungsi kuadrat adalah

dimana, a, b, dan c adalah bilangan real, dan a tidak sama dengan 0

sebagai contoh:

maka nilai a = 2, b = - 5 dan c = 3

kemudian beberapa hal yang harus kita kenal adalah adanya beberapa istilah sebagai berikut:

x = absis

y = ordinat = nilai

jadi jika dibilang nilai fungsi adalah sekian, maka nilai y lah yang dimaksud

contoh:

nilai fungsi f(x) adalah 8 untuk x = 3, maka y = 8 dan x = 3

istilah lain, kita kenal namanya titik koordinat, ditulis: (x, y)

B. Sketsa Grafik

Materi berikutnya pada Fungsi Kuadrat adalah Sketsa Grafik. Atau disebut juga menggambar grafik.

Tetapi untuk menggambar grafik secara mudah, gunakan saja bantuan geogebra.

Disini kita akan menggambar secara kasar ya. Beberapa hal yang perlu dalam menggambar fungsi kuadrat antara lain:

1. Titik Potong Sumbu Koordinat

Seperti namanya, titik, berarti kita harus mencari nilai x dan y yang memotong sumbu koordinat.

Karena sumbu koordinat ada dua, yakni sumbu x dan sumbu y, maka titik potong terhadap sumbu koordinat, juga harus dicari dua, yakni titik potong terhadap sumbu x, dan titik potong terhadap sumbu y

Untuk mencari titik potong terhadap sumbu x, disubsitusi kedalam fungsi kuadrat nilai y = 0. Karena sumbu x itu, bisa diartikan juga sebagai garis y = 0

Untuk mencari titik potong terhadap sumbu y, disubsitusi kedalam fungsi kuadrat nilai x = 0. Karena sumbu y itu, bisa diartikan juga sebagai garis x = 0

Kita ulang sekali lagi:

Titik Potong terhadap sumbu x, syarat: y = 0

Titik Potong terhadap sumbu y, syarat: x = 0

2. Titik Puncak

Yang kedua kita cari, adalah titik puncak fungsi kuadrat. Namanya titik, berarti ada x puncak dan y puncak.

Istilah lain dari titik puncak adalah titik maksimum / titik minimum, titik ekstrem, titik balik, sementara jika nilai maksimum, nilai minimum, nilai ekstrem, secara khusus menunjuk kepada y puncak.

Perhatikan bentuk umum fungsi kuadrat:

maka, diperoleh rumus untuk mencari x puncak dan y puncak sebagai berikut:

atau

dimana

3. Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah sumbu yang membagi fungsi/kurva menjadi dua yang sama. Istilahnya jika di kertas, kita lipat kertasnya agar menjadi 2 sama, maka garis lipatannya itu lah disebut sumbu simetri.

Jika kita perhatikan dari gambar diatas, maka titik puncak fungsi, dilalui oleh sumbu simetri (garis berwarna biru adalah sumbu simetri), sehingga diperoleh rumus:

Sebagai contoh:

Gambarlah Grafik Fungsi berikut:

Penyelesaian:

1. Tentukan Titik Potong

Titik Potong Terhadap Sumbu x

diperoleh titik potong terhadap sumbu x di (2, 0) dan (4, 0)

Titik Potong Terhadap Sumbu y

diperoleh titik potong terhadap sumbu x di (0, 8)

2. Tentukan Titik Potong

dari soal, diperoleh nilai a = 1, b = - 6 dan c = 8

atau

maka diperoleh titik puncaknya di (3, -1)

3. Tentukan Sumbu Simetri

Seperti x puncak, maka sumbu simetri terletak pada garis x = 3

Grafiknya adalah:

C. Analisa Grafik

Untuk bagian analisa grafik, kita akan menganalisa nilai "a", nilai "b", nilai "c" dan nilai "D" dari grafik yang diberikan, atau digunakan dalam soal.

1. Analisa nilai "a"

Nilai "a" disini digunakan untuk menganalisis keterbukaan fungsi.

Akan ada 2 kondisi yang terjadi.

1. Kurva Terbuka ke atas, syarat: a > 0

yang ada hanya nilai minimum fungsi

2. Kurva Terbuka ke bawah, syarat: a < 0

yang ada hanya nilai maksimum fungsi

2. Analisa nilai "b"

Nilai "b" disini digunakan untuk menganalisis letak puncak.

Dan ada hubungannya dengan nilai a.

Saya pakai istilah, BeKaSaRi
BEda KAnan SAma kiRI

untuk lebih jelasnya, lihat gambar dibawah.

Perhatikan, yang grafik warna biru, di sebelah kiri sumbu y, memiliki tanda yang sama antara a dan b. Sementara yang grafik berwarna hitam, karena disebelah kanan, memiliki tanda berbeda.

Sebenarnya ada 2 bentuk lagi, yakni saat sumbu simetri merupakan sumbu y, itu adalah saat nilai b = 0

3. Analisa nilai "c"

Analisa nilai "c" berhubungan dengan titik fungsi kuadrat dengan sumbu y.

a. Jika grafik fungsi tersebut memotong di sumbu y positif, maka c > 0

b. Jika grafik fungsi tersebut memotong di titik (0, 0), maka c = 0

c. Jika grafik fungsi tersebut memotong di sumbu y negatif, maka c < 0

bisa dilihat di gambar berikut:

4. Analisa nilai "D"

Untuk nilai "D", kita melihatnya dari hubungan kurva dan sumbu x.

Kemungkinan yang terjadi:

a. Jika kurva memotong sumbu x, maka D > 0

b. Jika kurva menyinggung sumbu x, maka D = 0

c. Jika kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x, maka D < 0

dihubungkan dengan nilai "a", akan memperoleh 6 kondisi seperti gambar:

Contoh:

Analisis lah grafik berikut:

Jawab:

a. Analisis nilai "a"

Karena kurva terbuka ke atas, maka nilai a > 0

b. Analisis nilai "b"

Karena puncak terletak di sebelah kiri, memiliki tanda yang sama dengan nilai a, maka b > 0

c. Analisis nilai "c"

Karena kurva memotong sumbu y di sumbu y positif, maka nilai c > 0

d. Analisis nilai "D"

Karena kurva memotong sumbu x , maka nilai D > 0

Eh, sebelum kita lanjut, kita kembali ke gambar analisis nilai "D"

Ada dua buah kurva, yang tidak menyinggung sumbu x. Kondisi demikian, disebut juga Definit.

Nah, dalam gambar diatas, ada dua kondisi Definit.

1. Definit Positif

Definit Positif adalah kondisi dimana untuk semua nilai x, fungsi selalu bernilai positif, atau kurva selalu di atas sumbu x

Syarat: a > 0, D < 0

2. Definit Negatif

Definit Negatif adalah kondisi dimana untuk semua nilai x, fungsi selalu bernilai negatif, atau kurva selalu di bawah sumbu x

Syarat: a < 0, D < 0

D. Hubungan Kurva dan Garis

Untuk materi keempat ini, sebenarnya sudah bisa diwakilkan dengan hubungan antara kurva dan sumbu x, karena memiliki inti yang sama. Tetapi akan kita jabarkan sendiri. Untuk mencari hubungan antara kurva dan garis, perhatikan penjelasaan berikut:

Misalkan diketahui persamaan:

Langkah untuk penyelesaian: